Senin, 03 Januari 2011

SIFAT OPERASI BINER

            Sifat-sifat yang dimiliki oleh sebuah sistem aljabar nantinya ditentukan oleh sifat-sifat yang dimiliki oleh setiap operasi di dalam sistem aljabar tersebut. Berikut akan diuraikan sifat-sifat yang dapat dimiliki oleh sebuah operasi biner.
Misalkan  *  dan  Å  adalah operasi biner.  Operasi * dikatakan :
-. KOMUTATIF ,         jika  a * b = b * a, untuk setiap   a, b.
-. ASOSIATIF,            jika  (a * b) * c  = a * (b * c), untuk setiap   a, b, c.
-. Mempunyai :
IDENTITAS, jika terdapat  e  sedemikian hingga a * e = e * a = a, untuk setiap a.
IDENTITAS KIRI, jika terdapat e1 sedemikian hingga e1 * a = a, untuk setiap a.
IDENTITAS KANAN, jika terdapat e2 sedemikian hingga a * e2 = a, untuk setiap
-. Mempunyai sifat INVERS, jika untuk setiap  a  terdapat  a-1  sedemikian hingga      a * a-1 = a-1 * a = e, dimana  e adalah elemen identitas untuk operasi  *. a-1 disebut invers dari elemen  a.
-. DISTRIBUTIF terhadap operasi  Å , jika untuk setiap a, b, c  berlaku  a * (b Å c ) = ( a * b) Å (a * c)  dan  (b Å c ) * a = ( b * a) Å (c * a).

            Contoh 1.2.
            Operasi biner penjumlahan biasa adalah sebuah operasi yang bersifat komutatif, karena untuk sembarang bilangan  x  dan  y berlaku  x+y = y+x. Operasi penjumlahan bersifat asosiatif, karena untuk sembarang x, y, z berlaku (x+y)+z = x+(y+z). Identitas untuk operasi penjumlahan adalah 0 (nol). Invers penjumlahan untuk sembarang bilangan p adalah –p, karena  p+(-p)=0.
                                                                                                                                        
Contoh 1.3.
-. Operasi perkalian bersifat distributif terhadap operasi penjumlahan, karena untuk setiap bilangan  a, b dan c  berlaku    a x (b+c) = (a x b) + (a x c) dan    (b + c) x a = (b x a) + (c x a).
-. Operasi penjumlahan tidak bersifat distributif terhadap operasi perkalian, karena terdapat   p, q  dan  r  dimana  p + (q x r)  ¹  (p + q) x (p + r). Sebagai contoh    2 + (3 x 4)  ¹ (2 + 3) x (2 + 4).      ð
Himpunan  S  dikatakan tertutup terhadap terhadap operasi biner * ,  jika untuk setiap  a, b Î S  berlaku  a * b Î S

Contoh 1.4.
-.   Himpunan bilangan bulat  Z  tertutup terhadap operasi penjumlahan biasa, karena untuk setiap  x, y Î Z berlaku  x + y Î Z.
-. Himpunan bilangan bulat  Z  tidak tertutup terhadap operasi pembagian biasa, karena terdapat   2, 3 Î Z  dimana  2 : 3 Ï Z. 
                                                                                      

Soal Latihan 1.1.
1.        Tunjukkan bahwa himpunan bilangan genap tertutup terhadap operasi penjumlahan.
2.        Tunjukkan bahwa operasi penjumlahan bersifat asosiatif pada himpunan bilangan kelipatan 2.
3.        Misalkan A adalah himpunan bilangan asli. Operasi biner * didefinisikan pada himpunan tersebut. Selidiki sifat asosiatif operasi biner yang didefinisikan sebagai berikut :            
a.        a * b = a + b + 3.
b.        a * b = a + b – 2ab.
c.        a * b = a + 2b.
d.      a * b = max (a,b).
4.        Misalkan (A,*) sebuah sistem aljabar dengan * operasi biner dimana untuk setiap a,b Î A berlaku  a * b = a. Tunjukkan bahwa  * bersifat  asosiatif                                                     
Å
a
b
c
d
e
a
a
b
c
b
d
b
b
c
a
e
c
c
c
a
b
b
a
d
b
e
b
e
d
e
d
b
a
d
c

5.    Operasi biner Å  didefinisikan pada himpunan C = {a, b, c, d, e} dalam tabel berikut :

 a. Tentukan b Å d, c Å d dan (a Å d) Å c.
b.  Apakah operasi Å bersifat komutatif ?.
c. Tentukan (bila ada) elemen identitas untuk operasi Å.

Tidak ada komentar:

Posting Komentar

Silahkan cik-cik dan uncle-uncle yang mau bercomment...Ana tunggu ya comment-nya...^__^