SIFAT OPERASI BINER

            Sifat-sifat yang dimiliki oleh sebuah sistem aljabar nantinya ditentukan oleh sifat-sifat yang dimiliki oleh setiap operasi di dalam sistem aljabar tersebut. Berikut akan diuraikan sifat-sifat yang dapat dimiliki oleh sebuah operasi biner.

Misalkan  *  dan  Å  adalah operasi biner.  Operasi * dikatakan :

-. KOMUTATIF ,         jika  a * b = b * a, untuk setiap   a, b.

-. ASOSIATIF,            jika  (a * b) * c  = a * (b * c), untuk setiap   a, b, c.

-. Mempunyai :

IDENTITAS, jika terdapat  e  sedemikian hingga a * e = e * a = a, untuk setiap a.

IDENTITAS KIRI, jika terdapat e₁ sedemikian hingga e₁ * a = a, untuk setiap a.

IDENTITAS KANAN, jika terdapat e₂ sedemikian hingga a * e₂ = a, untuk setiap

-. Mempunyai sifat INVERS, jika untuk setiap  a  terdapat  a^-1  sedemikian hingga      a * a^-1 = a^-1 * a = e, dimana  e adalah elemen identitas untuk operasi  *. a^-1 disebut invers dari elemen  a.

-. DISTRIBUTIF terhadap operasi  Å , jika untuk setiap a, b, c  berlaku  a * (b Å c ) = ( a * b) Å (a * c)  dan  (b Å c ) * a = ( b * a) Å (c * a).

            Contoh 1.2.

            Operasi biner penjumlahan biasa adalah sebuah operasi yang bersifat komutatif, karena untuk sembarang bilangan  x  dan  y berlaku  x+y = y+x. Operasi penjumlahan bersifat asosiatif, karena untuk sembarang x, y, z berlaku (x+y)+z = x+(y+z). Identitas untuk operasi penjumlahan adalah 0 (nol). Invers penjumlahan untuk sembarang bilangan p adalah –p, karena  p+(-p)=0.

                                                                                                                                        

Contoh 1.3.

-. Operasi perkalian bersifat distributif terhadap operasi penjumlahan, karena untuk setiap bilangan  a, b dan c  berlaku    a x (b+c) = (a x b) + (a x c) dan    (b + c) x a = (b x a) + (c x a).

-. Operasi penjumlahan tidak bersifat distributif terhadap operasi perkalian, karena terdapat   p, q  dan  r  dimana  p + (q x r)  ¹  (p + q) x (p + r). Sebagai contoh    2 + (3 x 4)  ¹ (2 + 3) x (2 + 4).      ð

Himpunan  S  dikatakan tertutup terhadap terhadap operasi biner * ,  jika untuk setiap  a, b Î S  berlaku  a * b Î S

Contoh 1.4.

-.   Himpunan bilangan bulat  Z  tertutup terhadap operasi penjumlahan biasa, karena untuk setiap  x, y Î Z berlaku  x + y Î Z.

-. Himpunan bilangan bulat  Z  tidak tertutup terhadap operasi pembagian biasa, karena terdapat   2, 3 Î Z  dimana  2 : 3 Ï Z. 

                                                                                      

Soal Latihan 1.1.

1.        Tunjukkan bahwa himpunan bilangan genap tertutup terhadap operasi penjumlahan.

2.        Tunjukkan bahwa operasi penjumlahan bersifat asosiatif pada himpunan bilangan kelipatan 2.

3.        Misalkan A adalah himpunan bilangan asli. Operasi biner * didefinisikan pada himpunan tersebut. Selidiki sifat asosiatif operasi biner yang didefinisikan sebagai berikut :            

a.        a * b = a + b + 3.

b.        a * b = a + b – 2ab.

c.        a * b = a + 2b.

d.      a * b = max (a,b).

4.        Misalkan (A,*) sebuah sistem aljabar dengan * operasi biner dimana untuk setiap a,b Î A berlaku  a * b = a. Tunjukkan bahwa  * bersifat  asosiatif                                                     

Å a b c d e a a b c b d b b c a e c c c a b b a d b e b e d e d b a d c

5.    Operasi biner Å  didefinisikan pada himpunan C = {a, b, c, d, e} dalam tabel berikut :

 a. Tentukan b Å d, c Å d dan (a Å d) Å c.

b.  Apakah operasi Å bersifat komutatif ?.

c. Tentukan (bila ada) elemen identitas untuk operasi Å.